Corrigé du 107 P. 304

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a. Limite en 0. Sachant que: \[\lim_{x\to0} x^2 = 0\] et que: \[\lim_{x\to0} \ln(x) = -\infty \implies \lim_{x\to0} -5\ln(x) = +\infty\] On obtient, par addition de limites: \[\lim_{x\to0} x^2 - 5\ln(x) = [0]+[+\infty] = +\infty.\]

a. Limite en +∞. Pour tout $x\in]0;+\infty[$: \[f(x) = x^2\left(1 - 5\frac{\ln(x)}{x^2}\right).\] Or d'une part : \[\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty.\] D'autre part, d'après le cours (croissances comparées) : \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2} = 0 \implies \lim_{x\to+\infty}1-5\frac{\ln(x)}{x^2} = 1.\] Donc par produit de ces limites : \[\lim_{x\to+\infty} x^2\left(1-5\frac{\ln(x)}{x^2}\right) = +\infty.\]

b. Limite en 0. D'une part : \[\lim_{x\to0} \ln(x)=-\infty \implies \lim_{x\to0}1+\ln(x) = -\infty.\] D'autre part : \[\lim_{x\to0} 3x + 2 = 2.\] Donc en réalisant le quotient de ces limites: \[\lim_{x\to0}\frac{1+\ln(x)}{3x+2}.\]

b. Limite en +∞. Indication. Grosso modo, le numérateur est voisin de $\ln(x)$ tandis que le dénominateur est voisin de $x$. On est donc amené à faire apparaître le quotient $\frac{\ln(x)}{x}$.
Pour tout réel $x$ strictement positif : \[g(x) = \frac{\ln(x)\left[\frac 1 {\ln(x)} + 1\right]}{x\left[3 + \frac 2 x\right]} =\frac{\ln(x)}{x} \times \frac{\frac 1 {\ln(x)} + 1}{3 + \frac 2 x}.\] D'une part : \[\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty} \ln(x) &= +\infty& \\ \implies \lim_{x\to+\infty} \frac 1 {\ln(x)} &= 0& \\ \implies \lim_{x\to+\infty} \frac 1 {\ln(x)} + 1 &= 1.& \end{aligned}\] D'autre part : \[\lim_{x\to+\infty} \frac 2 x = 0 \implies \lim_{x\to+\infty} 3 + \frac 2 x = 3.\] Donc en réalisant le quotient de ces limites: \[\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac 1 {\ln(x)} + 1}{3 + \frac 2 x} = \frac 1 3.\] On sait de plus, d'après le cours, que: \[\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)} x = 0.\] Donc finalement, par produit de limites : \[\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x}\times \frac{\frac 1 {\ln(x)} + 1}{3+\frac 2 x} = 0.\]

c. Limite en 0. D'après le cours: \[\lim_{x\to0} x\ln(x)= 0.\] D'autre part: \[\lim_{x\to0} x + 1 = 1.\] Donc par quotient de ces limites: \[\lim_{x\to0} \frac{x\ln(x)}{x+1} = 0.\]

c. Limite en +∞. Pour tout réel $x$ strictement positif: \[h(x) =\frac{\cancel x\ln(x)}{\cancel x\left(1+\frac 1 x\right)} =\frac{\ln(x)}{1+\frac 1 x}.\] Or : \[\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty.\] Et : \[\lim_{x\to+\infty} \frac 1 x = 0 \implies \lim_{x\to+\infty} 1 + \frac 1 x = 1.\] Donc par quotient de ces limites: \[\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{1+\frac 1 x} = +\infty.\]

d. Limite en 0. Pour tout réel strictement positif $x$: \[k(x) = \sqrt x \ln(x)= \sqrt x \ln\left({\sqrt x}^2\right) = 2\sqrt x \ln\left(\sqrt x\right).\] Nous savons d'une part que: \[\lim_{x\to 0}\sqrt x = 0.\] Et d'autre part que \[\lim_{X\to0} X\ln(X) = 0.\] Donc : \[\lim_{x\to0} \sqrt x \ln\left(\sqrt x\right) = 0 \implies 2\sqrt x\ln\left(\sqrt x\right) = 0.\]

d. Limite en +∞. De \[\lim_{x\to+\infty} \sqrt x = +\infty\] et \[\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty\] on déduit par produit de limites que \[\lim_{x\to+\infty} \sqrt x\ln(x)= +\infty.\]

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