Corrigé du 87 P. 302
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a.
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et
\[\forall x\in]0;+\infty[,\quad f'(x) = \frac 1 x + 1 - 0 = \frac 1 x + 1.\]
Or
\begin{multline*}
x > 0 \implies \frac 1 x > 0 \implies \frac 1 x + 1 > 1 \implies \frac 1 x + 1 > 0
\\
\implies f'(x) > 0.
\end{multline*}
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
On sait que
\[\lim_{x\to 0} \ln(x) = -\infty \quad\text{et}\quad \lim_{x\to+\infty} x - 3 = -3\]
donc en sommant ces limites
\[\lim_{x\to 0} \ln(x) + x - 3 = -\infty.\]
On sait également que
\[\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty \quad\text{et}\quad \lim_{x\to+\infty} x - 3 = +\infty\]
donc en sommant ces limites
\[\lim_{x\to+\infty} \ln(x)= + x- 3 = +\infty.\]
On peut donc établir le tableau de variations suivant.
b.
La fonction $g$
est dérivable sur $]0;+\infty[$ et
\[\forall x \in\mathbb R_+^*,\quad
g'(x) = \frac 1 x - \left(-\frac 1 {x^2}\right) + 0 = \frac 1 x + \frac 1 {x^2}.\]
Pour tout réel $x>0$, $\frac 1 x$ et $\frac 1 {x^2}$ sont strictement positifs, donc
\[g'(x) > 0.\]
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
Sachant que
\[\lim_{x\to0} \ln(x) =-\infty\]
et que
\[\lim_{x\to0^+} \frac 1 x = +\infty\]
on en déduit par sommation de limites que
\[\lim_{x\to0}\ln(x) - \frac 1 x + 2 = -\infty.\]
Sachant que
\[\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty\]
et que
\[\lim_{x\to+\infty} \frac 1 x = 0\]
on en déduit que par somme de limites:
\[\lim_{x\to+\infty} \ln(x) - \frac 1 x + 2 = +\infty.\]
On peut donc établir le tableau de variations suivant.
c.
$h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et:
\[\forall x\in]0;+\infty[,\quad h'(x) = 2\times \frac 1 x + 1 - 0 = \frac 2 x + 1.\]
Or
\begin{multline*}
x > 0 \implies \frac 2 x > 0 \implies \frac 2 x + 1 > 1 \implies \frac 2 x + 1 >0
\\
\implies h'(x) > 0.
\end{multline*}
Donc la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
D'une part
\[\lim_{x\to0}\ln(x) = -\infty
\implies
\lim_{x\to0} 2\ln(x) = -\infty\]
D'autre part
\[\lim_{x\to0}x - 1 = -1\]
Donc
\[\lim_{x\to0} 2\ln(x) +x - 1 = -\infty.\]
Sachant aussi que
\[\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty \implies \lim_{x\to+\infty}2\ln(x) = +\infty\]
et que
\[\lim_{x\to+\infty} x - 1 = +\infty\]
on en conclut que
\[\lim_{x\to+\infty} 2\ln(x) + x - 1 = +\infty.\]
On peut donc établir le tableau de variations suivant.
d.
$k$ est dérivable sur $\mathbb R_+^*$ et
\[\forall x\in\mathbb R_+^*,\quad
k'(x) = 2\times \left(-\frac 1 {x^2}\right) - \frac 1 x
=-\frac 2 {x^2} - \frac 1 x.\]
$x$ étant strictement positif, il est clair que $-\frac 1 x$ et $-\frac 1 {x^2}$ sont strictement négatifs et donc que
\[k'(x) < 0.\]
La fonction $k$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb R_+^*$.
De
\[\lim_{x\to0^+} \frac 2 x = +\infty\]
et
\[\lim_{x\to0} \ln(x) = -\infty\]
on déduit que
\[\lim_{x\to0} \frac 2 x - \ln(x) = +\infty.\]
De même, de
\[\lim_{x\to+\infty} \frac 2 x = 0\]
et
\[\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty\]
on déduit que
\[\lim_{x\to+\infty} \frac 2 x + \ln(x) = -\infty.\]
On peut donc établir le tableau de variations suivant.
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