Corrigé du 85 P. 302

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a. Pour que cette équation soit définie, il faut et suffit que : \[-x+1 > 0 \iff 1 > x\] Donc $\mathscr E = ]-\infty;1[$.
Alors : \[\begin{aligned} \ln(-x+1) &= \ln(2)& \\ \iff -x+1 &= 2& \\ \iff -x &= 1& \\ \iff x &= -1.& \end{aligned}\] Puisque $-1\in\mathscr E$, $S = \big\{-1\big\}$.

b. L'équation est définie si et seulement si \[x^2 - 2x > 0.\] Ce polynôme a deux racines évidentes 0 et 2; son coefficient de degré 2 est positif, donc il est positif à l'extérieur de ses racines. \[\mathscr E = ]-\infty;0[\cup]2;+\infty[.\] Alors: \[\ln(x^2 - 2x) = \ln(4) \iff x^2 - 2x = 4 \iff x^2 - 2x - 4 = 0.\] Discriminant : $\Delta = (-2)^2 - 4\times 1 \times (-4) = 20$. $\Delta > 0$ donc 2 solutions : \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{2 - \sqrt{20}}{2\times 1} = \frac{2-2\sqrt 5}2 = 1 - \sqrt 5 \in \mathscr E;&\\ x_2 &=\frac{2+\sqrt{20}}{2\times 1} = \frac{2+2\sqrt 5} 2 = 1 + \sqrt 5 \in \mathscr E.& \end{aligned}\] Donc $S = \left\{1-\sqrt 5\ ;\ 1+\sqrt 5\right\}$.

c. Il faut et suffit que : \[x^2 > 0\iff x\neq 0.\] Donc $\mathscr E = \mathbb R^*$. \[\ln(x^2) = \ln(81) \iff x^2 = 81 \iff \begin{cases}x=-9\\x=9\end{cases}.\] Donc $S = \big\{-9\ ;\ 9\big\}$.

d. L'équation est définie ssi : \[ \begin{cases} 3x-1 >0\\x>0\end{cases} \iff \begin{cases} x > \frac 1 3\\ x > 0 \end{cases} \iff x\in \left]\frac 1 3;+\infty\right[=\mathscr E \] Alors : \[\begin{aligned} \ln(3x-1)+\ln(x)&=2\ln(5)& \\ \iff \ln\big[(3x+1)x\big]&=\ln(5^2)& \\ \iff (3x+1)x &= 25& \\ \iff 3x^2 + x - 25 &= 0.& \end{aligned}\] $\Delta = 1^2 - 4\times 3 \times (-25) = 301>0$ donc 2 solutions \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-1-\sqrt{301}}{2\times 3} < 0 \implies x_1\notin\mathscr E&\\ x_2 &=\frac{-1+\sqrt{301}}{2\times 3} = \frac{-1+\sqrt{301}} 6 \approx 2,7 \implies x_2\in\mathscr E& \end{aligned}\] Donc $S = \left\{\dfrac{-1+\sqrt{301}}{6}\right\}$.

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