Corrigé du 76 P. 301

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a. Puisque $c > 0$ : \begin{flalign*} &\lim_{t\to+\infty} -ct = -\infty & \\ \implies &\lim_{t\to+\infty} \mathrm e^{-ct} = 0& \\ \implies &\lim_{t\to+\infty}a - b\mathrm e^{-ct} = a.& \end{flalign*} Or le contexte permet d'affirmer que : \begin{flalign*} &\lim_{t\to+\infty} \theta(t) = 20 \implies a = 20.& \end{flalign*} On sait aussi que : \begin{flalign*} &\theta(0) = -18& \\ \iff &a - b\mathrm e^{-c\times 0} = -18& \\ \iff &20 - b\times 1 = -18& \\ \iff &b = 38.& \end{flalign*}

b. L'évolution de la température au cours du temps n'est pas linéaire ($\theta$ n'est pas une fonction affine). Donc la «règle de trois» ne s'applique pas ici ; Julia a tort.
On sait désormais que : \begin{flalign*} \theta(15) &= 1& \\ \iff &20 - 38\mathrm e^{-15c} = 1& \\ \iff &38\mathrm e^{-15c} = 19& \\ \iff &\mathrm e^{-15c} = \frac{19}{38}& \\ \iff &\mathrm e^{-15c} = \frac 1 2& \\ \iff &-15c = \ln\left(\frac 1 2\right)& \\ \iff &-15c = -\ln(2)& \\ \iff &c = \frac{\ln(2)}{15}.& \end{flalign*} On souhaite déterminer $t$ tel que : \begin{flalign*} &\theta(t) = 15& \\ \iff &20 - 38\mathrm e^{-ct} = 15& \\ \iff &\mathrm e^{-ct} = \frac{-5}{-38}& \\ \iff &-ct = \ln\left(\frac 5 {38}\right)& \\ \iff &t = \frac{\ln(5)-\ln(38)}{-c}& \\ \iff &t = -\frac{15(\ln(5) - \ln(38))}{\ln(2)}.& \end{flalign*} On en déduit que $t\approx 43,89$, soit 43 minutes et $0,89\times 60 \approx 53$ secondes. Amina a donc raison.

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