Corrigé du 76 P. 301

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a. Puisque $c>0$ : $$\begin{array}{rlcr}& \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}-ct=-\mathrm{\infty }& & \\ ⟹& \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^{-ct}=0& & \\ ⟹& \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}a-b{\mathrm{e}}^{-ct}=a.& & \end{array}$$ Or le contexte permet d'affirmer que : $$\begin{array}{rlcr}& \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\theta (t)=20⟹a=20.& & \end{array}$$ On sait aussi que : $$\begin{array}{rlcr}& \theta (0)=-18& & \\ ⟺& a-b{\mathrm{e}}^{-c\times 0}=-18& & \\ ⟺& 20-b\times 1=-18& & \\ ⟺& b=38.& & \end{array}$$

b. L'évolution de la température au cours du temps n'est pas linéaire ($\theta$ n'est pas une fonction affine). Donc la «règle de trois» ne s'applique pas ici ; Julia a tort.
On sait désormais que : $$\begin{array}{rlcr}\theta (15)& =1& & \\ ⟺& 20-38{\mathrm{e}}^{-15c}=1& & \\ ⟺& 38{\mathrm{e}}^{-15c}=19& & \\ ⟺& {\mathrm{e}}^{-15c}=\frac{19}{38}& & \\ ⟺& {\mathrm{e}}^{-15c}=\frac{1}{2}& & \\ ⟺& -15c=\ln \left(\frac{1}{2}\right)& & \\ ⟺& -15c=-\ln (2)& & \\ ⟺& c=\frac{\ln (2)}{15}.& & \end{array}$$ On souhaite déterminer $t$ tel que : $$\begin{array}{rlcr}& \theta (t)=15& & \\ ⟺& 20-38{\mathrm{e}}^{-ct}=15& & \\ ⟺& {\mathrm{e}}^{-ct}=\frac{-5}{-38}& & \\ ⟺& -ct=\ln \left(\frac{5}{38}\right)& & \\ ⟺& t=\frac{\ln (5)-\ln (38)}{-c}& & \\ ⟺& t=-\frac{15(\ln (5)-\ln (38))}{\ln (2)}.& & \end{array}$$ On en déduit que $t\approx 43,89$, soit 43 minutes et $0,89\times 60\approx 53$ secondes. Amina a donc raison.

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