Corrigé du 73 P. 301

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a. \begin{multline*} \ln\left(\sqrt 3\right) + \ln\left(\sqrt{27}\right) =\frac 1 2 \ln(3) + \frac 1 2 \ln(27) \\ =\frac 1 2 \left(\ln(3) + \ln(27)\right) =\frac 1 2 \ln(3\times 27) =\frac 1 2 \ln(81) \\ =\frac 1 2 \ln\left(3^4\right) =\frac 1 2 \times 4 \ln(3) =2\ln(3). \end{multline*}

b. \begin{multline*} \ln\left(2\mathrm e^3\right) + \ln\left(\frac{\mathrm e^1}2\right) \\ =\cancel{\ln(2)} + \ln\left(\mathrm e^3\right) + \ln(\mathrm e) - \cancel{\ln(2)} =3\ln(\mathrm e) + \ln(\mathrm e) \\ =4\ln(\mathrm e) = 4\times 1 =4. \end{multline*}

c. Adèle a raison \begin{flalign*} &\mathrm e^{\frac{\ln(5)}2} = \mathrm e^{\frac 1 2 \ln(5)} = \mathrm e^{\ln\left(\sqrt 5\right)} = \sqrt 5.& \end{flalign*} Or \[\left(\sqrt 5\right)^6 = \left(\left(\sqrt 5\right)^2\right)^3 = 5^3 = 125.\] Donc $\mathrm e^{\frac{\ln(5)}2}$ est bien solution de l'équation $x^6 = 125$.

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