Corrigé du 70 P. 300

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a. C'est Vrai. Si $x=1$ alors $\ln(x)=0$ et l'égalité est vérifiée.
Si $x\neq 1$, alors l'équation est simplifiable par $\ln(x)$ non nul. \[x\ln(x) = 3\ln(x) \iff x = 3.\] Et dans ce cas, l'unique solution est 3. On a donc bien
S = {1;3}.

b. Faux (il y a une solution). C'est une équation de la forme produit nul, donc

• Soit \[\mathrm e^x + 1= 0 \iff \mathrm e^x = -1\] qui est impossible puisque une exponentielle est toujours positive.
• Soit \[\mathrm e^x - 2 = 0 \iff \mathrm e^x = 2 \iff x = \ln(2).\]

Donc S = {ln(2)}.

c. C'est vrai. \begin{flalign*} &\mathrm e^{5\ln(2)}\times \mathrm e^{7\ln(4)} =\left(\mathrm e^{\ln(2)}\right)^5 \times \left(\mathrm e^{\ln(4)}\right)^7 =2^5 \times 4^7& \\ &=2^5 \times (2^2)^7 =2^5 \times 2^{14} =2^{19}.& \end{flalign*}

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