Corrigé du 69 P. 300

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Cette équation n'est définie que si : \begin{flalign*} &x^2 > 0 \implies x\neq 0& \\ &\frac{x^5}{\mathrm e} > 0 \implies x^5 > 0 \implies x > 0& \\ &2x > 0 \implies x > 0.& \end{flalign*} Cette équation est donc définie sur $D = ]0\;;\;+\infty[$.
Alors: \begin{flalign*} &\ln(x^2) - \ln\left(\frac{x^5}{\mathrm e}\right) + \ln(2) = \ln(2x) + 5& \\ \iff &\ln(x^2) - \ln\left(\frac{x^5}{\mathrm e}\right) - \ln(2x) = 5 - \ln(2)& \\ \iff &\ln\left(x^2 \times \frac{\mathrm e}{x^5} \times \frac 1 {2x}\right) = \ln\left(\mathrm e^5\right) - \ln(2)& \\ \iff &\ln\left(\frac{\mathrm e}{2x^4}\right) = \ln\left(\frac{\mathrm e^5} 2\right)& \\ \iff &\frac{\mathrm e}{2x^4} = \frac{\mathrm e^{5}}{2}& \\ \iff &2x^4 = \frac{2\mathrm e}{\mathrm e^5}& \\ \iff &x^4 = \mathrm e^{-4}.& \end{flalign*} Une solution évidente de cette équation est $x=\mathrm e^{-1}$. De plus, la fonction $x\mapsto x^4$ étant strictement croissante sur $]0;+\infty[$, cette équation ne peut pas admettre plus d'une solution.
Donc $\mathcal S = \left\{\mathrm e^{-1}\right\}$.

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