Corrigé du 69 P. 300

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Cette équation n'est définie que si : $$\begin{array}{rlcr}& x^2>0⟹x\ne 0& & \\ & \frac{x^5}{\mathrm{e}}>0⟹x^5>0⟹x>0& & \\ & 2x>0⟹x>0.& & \end{array}$$ Cette équation est donc définie sur $D=]0;+\mathrm{\infty }[$.
Alors: $$\begin{array}{rlcr}& \ln (x^2)-\ln \left(\frac{x^5}{\mathrm{e}}\right)+\ln (2)=\ln (2x)+5& & \\ ⟺& \ln (x^2)-\ln \left(\frac{x^5}{\mathrm{e}}\right)-\ln (2x)=5-\ln (2)& & \\ ⟺& \ln (x^2\times \frac{\mathrm{e}}{x^5}\times \frac{1}{2x})=\ln \left({\mathrm{e}}^5\right)-\ln (2)& & \\ ⟺& \ln \left(\frac{\mathrm{e}}{2x^4}\right)=\ln \left(\frac{{\mathrm{e}}^5}{2}\right)& & \\ ⟺& \frac{\mathrm{e}}{2x^4}=\frac{{\mathrm{e}}^5}{2}& & \\ ⟺& 2x^4=\frac{2\mathrm{e}}{{\mathrm{e}}^5}& & \\ ⟺& x^4={\mathrm{e}}^{-4}.& & \end{array}$$ Une solution évidente de cette équation est $x={\mathrm{e}}^{-1}$. De plus, la fonction $x\mapsto x^4$ étant strictement croissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, cette équation ne peut pas admettre plus d'une solution.
Donc $\mathcal{S}=\left\{{\mathrm{e}}^{-1}\right\}$.

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