Corrigé du 66 P. 300

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a. \begin{align*} \ln(x) - \sqrt 2 &= 0& \\ \iff \ln(x) &= \sqrt 2& \\ \iff x &= \mathrm e^{\sqrt 2}.& \end{align*} $S = \left\{\mathrm e^{\sqrt 2}\right\}$.

b. L'équation \[\left(\mathrm e^x - 1\right)\left(7+\ln(x)\right) = 0\] est de la forme \og produit nul\fg.
Soit : \begin{align*} \mathrm e^x - 1 &= 0& \\ \iff \mathrm e^x &= 1& \\ \iff x &= 0\;;& \end{align*} soit : \begin{align*} 7 + \ln(x) &= 0& \\ \iff \ln(x) &= -7& \\ \iff x &= \mathrm e^{-7}.& \end{align*} Finalement $S = \left\{0\;;\,\mathrm e^{-7}\right\}$.

c. \[\left(\ln(x)\right)^2 = 9\] si et seulement si soit \begin{align*} \ln(x) &= -3& \\ \iff x &= \mathrm e^{-3};& \end{align*} soit \begin{align*} \ln(x) &= 3& \\ \iff x &= \mathrm e^3.& \end{align*} Finalement $S = \left\{\mathrm e^{-3}\;;\;\mathrm e^{3}\right\}$.

d. \[(2x-1)(\ln(x) - 3) = 0\] est de la forme «produit nul». Donc soit : \begin{align*} 2x - 1 &= 0& \\ \iff 2x &= 1& \\ \iff x &=\frac 1 2;& \end{align*} soit : \begin{align*} \ln(x) - 3 &= 0& \\ \iff \ln(x) &= 3& \\ \iff x &= \mathrm e^{3}.& \end{align*} Finalement $S = \left\{\dfrac 1 2\;;\;\mathrm e^3\right\}$.

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