Corrigé du 43 P. 298

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a. $\mathrm e^x = \pi \iff x = \ln\pi$ donc $S = \{\ln\pi\}$.

b. \[\begin{aligned} 5\mathrm e^x - 1 &= 3& \\ \iff 5\mathrm e^x &= 3 + 1& \\ \iff 5\mathrm e^x &= 4& \\ \iff \mathrm e^x &= \frac 4 5& \\ \iff &x = \ln\frac 4 5.& \end{aligned}\]

c. L'équation $\mathrm e^x(2-\mathrm e^x) = 0$ est un produit nul.

• Soit $\mathrm e^x = 0$ (impossible)
• Soit \[2- \mathrm e^x = 0 \iff 2 = \mathrm e^x \iff \ln 2 = x.\]

Donc $S = \left\{\ln 2\right\}$.

d. $\mathrm e^x = \sqrt 3 \iff x = \ln\left(\sqrt 3\right)$.
Remarque : $\ln\left(\sqrt 3\right) = \frac 1 2 \ln 3$.
Donc $S = \left\{\frac 1 2\ln 3\right\}$.

e. \[\begin{aligned} \mathrm e^{2x} - 1 &= 0& \\ \iff \mathrm e^{2x} &= 1& \\ \iff 2x &= 0& \\ \iff &x = 0.& \end{aligned}\] Donc $S = \{0\}$

f. L'équation $\mathrm e^x(\mathrm e^x + 1) = 0$ est un produit nul.

• Soit $\mathrm e^x = 0$, ce qui est impossible;
• Soit \[\mathrm e^x + 1=0 \iff \mathrm e^x = -1.\] impossible aussi.

Donc $S = \emptyset$.

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