Corrigé du 103 P. 174

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1. Il est clair que tous les termes de la suite $(v_n)$ sont négatifs. Donc $v_n$ sera dans $]-10^{-9};10^{-9}[$ si et seulement si \[\begin{aligned} v_n &> -10^{-9}& \\ \iff -\frac 5 {n^2} &>-10^{-9}& \\ \iff \frac 5 {n^2} &<10^{-9}& \\ \iff \frac {n^2} 5 &>10^9& \\ \iff n^2 &>5\times 10^{9}& \\ \iff n &>\sqrt{5\times 10^{9}}& \end{aligned}\] Or $\sqrt{5\times 10^9} \approx 70710,68$ et $n$ est un entier, donc cette dernière inéquation équivaut à \[n \ge 70711.\] Tout $n_0$ supérieur ou égal à 70711 répond donc à la question posée.

2. Soit $]a;b[$ un intervalle quelconque contenant $0$ (donc $a<0$ et $b>0$).

Montrons qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel les termes de la suite $(v_n)$ sont dans $]a;b[$.

Puisque la suite $(v_n)$ est négative, ce sera le cas dès que : \[\begin{aligned} v_n &> a& \\ \iff -\frac 5 {n^2} &>a& \\ \iff \frac 5 {n^2} &< -a& \\ \iff \frac {n^2} 5 &> -\frac 1 a& \\ \iff n^2 &>-\frac 5 a.& \end{aligned}\] On rappelle ici que $a$ est négatif, donc $-\frac 5 a$ est positive. \[\begin{aligned} n^2 &>-\frac 5 a& \\ \iff n &>\sqrt{-\frac 5 a}.& \end{aligned}\] Dès lors que $n$ dépasse $\sqrt{-\frac 5 a}$, $v_n$ sera dans l'intervalle $]a;b[$.

On a donc montré en utilisant la définition du cours que la suite $(v_n)$ tend vers 0.

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