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Soit $\mathcal A(n)$ l'assertion «$u_n > 1$».
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$u_0 = 2$ donc $\mathcal A(0)$ est vraie.
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Supposons $\mathcal A(n)$ vraie et calculons
\[\begin{aligned}
u_{n+1} - 1
&=\frac{1+3u_n}{3+u_n} - 1&
\\
&=\frac{1+3u_n}{3+u_n} - \frac{3+u_n}{3+u_n}&
\\
&=\frac{1+3u_n - 3 - u_n}{3+u_n}&
\\
&=\frac{2u_n - 2}{3+u_n}.&
\end{aligned}\]
On a supposé que:
\[u_n > 1 \implies u_n + 3>4 \implies u_n > 0.\]
De même:
\[u_n > 1 \implies 2u_n > 2 \implies 2u_n - 2 > 0.\]
Donc:
\[\frac{2u_n - 2}{3+u_n}> 0
\implies
u_{n+1} - 1 > 0
\implies
u_{n+1} > 1.\]
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Initialisée et héréditaire, l'assertion $\mathcal A(n)$ est
donc vraie pour tout entier naturel $n$.
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