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Rappelons que:
\[1+2+\cdots + n = \frac{n(n+1)}2.\]
Donc l'assertion $\mathcal A(n)$ à prouver s'écrit aussi:
\[
\begin{aligned}
&1^3 + 2^3 + \cdots + n^3&
\\
=&(1+2+\cdots + n)^2&
\\
=&\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2&
\\
=&\frac{n^2(n+1)^2}4.&
\end{aligned}
\]
Remarquons au passage que $\mathcal A(n+1)$ s'écrit:
\[1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 +(n+1)^3 = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}4.\]
-
L'assertion $\mathcal A(n)$ est initialisée car si $n=1$:
\[ \begin{aligned}
1+\cdots + n &= 1&\\
\dfrac{n(n+1)}2 &= \dfrac{1\times 2} 2 = 1.&
\end{aligned}\]
-
Supposons $\mathcal A(n)$ vraie et étudions $\mathcal A(n+1)$.
\[\begin{aligned}
&1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + (n+1)^3&
\\
=&(1^3+2^3+\cdots + n^3) + (n+1)^3&
\\
=&\frac{n^2(n+1)^2}4 + \frac{4(n+1)^3}4&
\\
=&\frac{n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3}4&
\\
=&\frac{(n+1)^2\left[n^2 + 4(n+1)\right]} 4&
\\
=&\frac{(n+1)^2\left[n^2 + 4n + 4\right]}4&
\\
=&\frac{(n+1)^2(n+2)^2}4.&
\end{aligned}\]
Donc:
\[\mathcal A(n) \implies \mathcal A(n+1).\]
-
Par récurrence, $\mathcal A(n)$ est donc vraie pour tout entier naturel non nul.
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