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a.
Cinq premiers termes de la suite $(v_n)$:
\[\begin{aligned}
v_0 &= 6\;;&
\\
v_1 &= \frac 1 2 \times 6 + 5 = 8\;;&
\\
v_2 &=\frac 1 2 \times 8 + 5 = 9\;;&
\\
v_3 &=\frac 1 2 \times 9 + 5 = 9,5\;;&
\\
v_4 &=\frac 1 2 \times 9,5 + 5 = 9,75.&
\end{aligned}\]
b.
Chaque terme semble supérieur au terme précédent. Cette suite semble donc être croissante.
c.
Soit $\mathcal P(n)$ l'assertion «$v_n < v_{n+1}$».
-
Puisque $v_0 = 6$ et $v_1 = 8$, $\mathcal P(0)$ est vraie.
-
Supposons que pour un entier $n$ donné, $\mathcal P(n)$ soit vraie.
\[\begin{aligned}
v_n &< v_{n+1}&
\\ \implies
\frac 1 2 v_n &< \frac 1 2 v_{n+1}&
\\ \implies
\frac 1 2 v_n + 5 &<\frac 1 2 v_{n+1} + 5&
\\ \implies
v_{n+1} &< v_{n+2}.
\end{aligned}\]
L'assertion $\mathcal P(n)$ est donc héréditaire.
-
Par récurrence, $\mathcal P(n)$ est donc vraie pour tout entier
naturel $n$. La suite $(u_n)$ est donc bien croissante.
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