Corrigé du 73 P. 172

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1. Notons $\mathcal P(n)$ l'assertion «$0<u_n <2$».

$\mathcal P(0)$ est vraie car $u_0 = 1$ donc $0 < u_0 < 2$.

Si, pour $n$ donné, $\mathcal P(n)$ est vraie, alors : \[\begin{aligned} 0 &< u_n < 2& \\ \implies 1 &< u_n + 1 < 3& \\ \implies \sqrt{1} &< \sqrt{u_n + 1} < \sqrt 3& \\ \implies 1 &< u_{n+1} < \sqrt 3.& \end{aligned}\] Or $0 < 1$ et $\sqrt 3 < 2$, donc on a \[0 < u_{n+1} < 2.\] $\mathcal P(n)$ est donc héréditaire.

Donc, par récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

2. Soit donc $\mathcal Q(n)$ l'assertion «$u_n < u_{n+1}$».

$u_0 = 1$ et $u_1 = \sqrt{1+1} = \sqrt 2$. On a donc bien $u_0 < u_1$ et $\mathcal Q(0)$ est vraie.

Si, pour $n$ donné, on suppose $\mathcal Q(n)$ vraie. Alors \[\begin{aligned} u_n &< u_{n+1}& \\ \implies u_n + 1 &< u_{n+1} + 1.& \end{aligned}\] On sait déjà que $u_n>0$ et $u_{n+1}>0$, donc $u_n + 1>0$ et $u_{n+1}+1>0$. Cela permet d'affirmer que: \[\begin{aligned} u_n + 1 &< u_{n+1} + 1& \\ \implies \sqrt{u_n + 1} &< \sqrt{u_{n+1} + 1}& \\ \implies u_{n+1} &< u_{n+2}.& \end{aligned}\] L'assertion $\mathcal Q(n)$ est donc héréditaire.

Donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$; $\mathcal Q(n)$ est vraie.

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