79P29

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  1. Soit $C_n$ le capital au début d'une année.
    Après un an, le capital placé augmente de 6%. Il est donc multiplié par 1,06. \[1,06C_n.\] Mouna enlève alors 4000€ du placement.
    Le capital de l'année suivante $C_{n+1}$ est donc bien égal à \[C_{n+1} = 1,06C_n - 4000.\]
  2.   \[\begin{aligned} C_1 &= 1,06C_0 - 4000 = 1,06\times 80000 - 4000 = 80800\;;& \\ C_2 &= 1,06C_1 - 4000 = 1,06\times 80800 - 4000 = 81648.& \end{aligned}\] Donc \[\begin{aligned} C_1 - C_0 &= 80800 - 80000 = 800\;;& \\ C_2-C_1 &= 81648 - 80800 = 848.& \end{aligned}\] Puisque $C_1-C_0 \neq C_2 - C_1$, la suite $(C_n)$ ne peut pas être arithmétique.
    \[\frac{C_1}{C_0} = \frac{80800}{80000} =1,01\;; \quad \frac{C_2}{C_1} = \frac{81648}{80800} \approx 1,0105. \] Puisque $\frac{C_1}{C_0}\neq\frac{C_2}{C_1}$, la suite $(C_n)$ ne peut pas être géométrique non plus.
    1. Pour tout entier naturel $n$: \[\begin{aligned} U_{n+1} &= C_{n+1} - 50000& \\ &=1,06C_n - 4000 - 50000.& \\ &=1,06C_n - 54000.& \end{aligned}\] De plus \[U_n = C_n - 50000 \implies C_n = U_n + 50000.\] Donc en reprenant la relation précédente \[\begin{aligned} U_{n+1} &= 1,06C_n - 54000& \\ &=1,06\left(U_n + 50000\right) - 54000& \\ &=1,06U_n + 1,06\times 50000 - 54000& \\ &=1,06U_n + 54000 - 54000& \\ &=1,06U_n.& \end{aligned}\] La relation $U_{n+1} = 1,06U_n$, vérifiée pour tout entier naturel $n$, montre que la suite $(U_n)$ est géométrique de raison $q=1,06$.
      Son premier terme est \[U_0 = C_0 - 50000 = 80000-50000 = 30000.\]
    2. On en déduit que \[U_n = U_0q^n = 30000\times 1,06^n.\] On en déduit que: \[C_n = U_n + 50000 = 30000\times 1,06^n + 50000.\]
    3.   \[C_5 = 30000\times 1,06^5 + 50000 \approx 90146,77.\] Donc elle disposera de 90 146,77 euros au bout de cinq ans.
    4. Calculons les termes successifs de la suite $(C_n)$ jusqu'à atteindre ou dépasser 130000. \[\begin{aligned} C_6&=30000\times 1,06^6 + 50000 \approx 92555,57\;;& \\ &\cdots\cdots& \\ C_{25}&=30000\times 1,06^{25} + 50000 \approx 178756,12\;;& \\ C_{26}&=30000\times 1,06^{26} + 50000 \approx 186481,49.& \end{aligned}\] Mouna va devoir s'armer de patiente car elle va devoir attendre 26 ans.

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