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Soit $u_n$ le nombre de passages de voitures le $n$-ième jour après l'ouverture.
On a donc $u_1 = 350$.
Chaque jour, la fréquentation augmente de 10 véhicules, donc la suite $(u_n)$ est arithmétique de
raison $r=10$.
Son terme général est
\[\begin{aligned}
u_n &= u_1 + (n-1)r&
\\
&= 350 + 10(n-1)&
\\
&= 350 + 10n - 10&
\\
&= 340 + 10n.&
\end{aligned}\]
En particulier
\[u_7 = 340 + 10 \times 7 = 410.\]
La fréquentation au cours de la première semaine est donc
\[\begin{aligned}
u_1 + u_2 + \cdots + u_7
&=7\times \frac{350+410} 2&
\\
&=2660.&
\end{aligned}\]
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On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que
\[\begin{aligned}
u_n &> 1500&
\\ \iff
340 + 10n &> 1500&
\\ \iff
10n &> 1500 - 340&
\\ \iff
10n &> 1160&
\\ \iff
n &> \frac{1160}{10}&
\\ \iff
n&> 116.&
\end{aligned}\]
Donc à partir du 117e jour, le parking sera saturé.
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Commençons par calculer la fréquentation totale sur les 116 premiers jours.
On a:
\[u_{116} = 340 + 10\times 116 = 1500.\]
Donc
\[\begin{aligned}
u_1 + u_2 + \cdots + u_{116}
&=116 \times \frac{350+1500} 2&
\\
&=107\:300.&
\end{aligned}\]
Chaque véhicule ayant rapporté 8€, la société aura gagné, en euros:
\[107\:300 \times 8 = 858\:400.\]
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