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L'augmentation chaque année est obtenue par
\[\frac{5}{100}\times 300 = 0,05 \times 300 = 15.\]
Chaque année, le capital de Mathilde augmentera de 15 euros.
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Puisque chaque année, le capital augmente de 15 euros, la suite $(u_n)$
est arithmétique de raison $r=15$.
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Donc:
\[\begin{aligned}
u_1 &= u_0 = 15 = 300 + 15 = 315\;;&
\\
u_2 &= u_1 + 15 = 315 + 15 = 330\;;&
\\
u_3 &= u_2 + 15 = 330 + 15 = 345.&
\end{aligned}\]
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La suite $(u_n)$ étant arithmétique, pour tout entier naturel $n$:
\[u_n = u_0 + nr = 300 + 15n.\]
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Le capital aura doublé quand il aura atteint 600 euros.
Méthode 1.
On continue à calculer les termes de la suites jusqu'à atteindre ou dépasser 600.
\[\begin{aligned}
u_4 &= 345 + 15 = 360\;;&
\\
&\ldots&
u_{20} &= 585 + 15 = 600.&
\end{aligned}\]
Méthode 2.
Pour doubler le capital, les intérêts cumulés doivent atteindre 300 euros. Or on gagne 15 euros par an.
\[\frac{300}{15} = 20\]
Méthode 3.On cherche $n$ tel que
\[\begin{aligned}
u_n &= 2u_0&
\\
300 + 15n &= 2\times 300&
\\
15n &=600 - 300&
\\
15n &= 300&
\\
n&=\frac{300}{15}&
\\
n&=20.&
\end{aligned}\]
Quelle que soit la méthode, on obtient qu'il faudra 20 ans pour que le capital de Mathilde double.
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