28 P. 129

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1. Il y a 6 boules portant un numéro pair (2, 4, 6, 8, 10 et 12) parmi 12, donc: \[P(\mathrm A) = \frac 6 {12} = \frac 1 2.\] Il y a 4 boules portant un numéro multiple de 3 (3, 6, 9 et 12) parmi 12, donc: \[P(\mathrm B) = \frac 4 {12} = \frac 1 3.\] Il y a 2 boules portant un numéro pair et multiple de 3 (boules 6 et 12), donc: \[P(\mathrm A\cap \mathrm B) = \frac 2 {12} = \frac 1 6.\] On constate que \[P(\mathrm A) \times P(\mathrm B) = \frac 1 2 \times \frac 1 3 = \frac 1 6 =P(\mathrm A\cap \mathrm B).\] Donc les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

2. Désormais, $P(\mathrm A) = \dfrac 6 {13}$, $P(\mathrm B) = \dfrac 4{13}$ et $P(\mathrm A\cap\mathrm B) = \dfrac 2{13}$.
On constate que \[P(\mathrm A)\times P(\mathrm B) = \dfrac 6 {13}\times\dfrac{4}{13} =\dfrac{24}{169} \neq P(\mathrm A\cap\mathrm B).\] Les événements $A$ et $B$ ne sont donc pas indépendants.

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code : 129028